เนื้อหาบทเรียนคณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็น
(Probability)
ประวัติ
ทฤษฎีความน่าจะเป็นเริ่มมาจากปัญหาของการเล่นเกมการพนัน
ซึ่งเกิดจากการแก้ปัญหาของ เซอวาลิเยร์ เดอ เมเร (Chevalier de Mire) โดยนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงชาวฝรั่งเศา
2 ท่าน คือ ปาลกาล (Pascal) และแฟร์มมาต์
(Fermat) ในคริสต์ศตวรรษที่ 17 เดอ
เมเร เป็นขุนนางในราชสำนักและวงสังคมชั้นสูงของฝรั่งเศส
ในสมัยนั้นมีผู้นิยมเล่นการพนันกันมาก เดอ เมเร เป็นผู้หนึ่งที่นิยมเล่นการพนันมาก
ปัญหาของท่านที่นำไปถามปาสกาลจึงเป็นปัญหาที่เกี่ยวกับการเล่นการพนัน ซึ่งมีอยู่ 2 ปัญหา ความจริงหนึ่งในสองของปัญหาของ เดอ เมเร นั้นได้ปรากฏมาก่อนแล้วเมื่อปลายคริสต์ศตวรรษที่
15 ประมาณปี ค.ศ. 1494 พาซีโอลี (Pacioli)
ได้เสนอปัญหาของแต้ม ชายสองคนเล่นการพนันกัน
และชายสองคนนี้มีฝีมือเท่าเทียมกัน แต่ต้องเลิกเล่นกลางคันก่อนที่จะมีคนชนะ
ถ้าทราบจำนวนของแต้มที่กำหนดไว้ว่าจะชนะ และทรายจำนวนเต็มที่ทำให้ของแต่ละคน
ปัญหาคือ จะแบ่งเงินพนันกันอย่างไร ปัญหานี้เป็นที่รู้จักกันอย่างแพร่หลาย
และมีนักคณิตศาสตร์หลายท่านรวมทั้ง คาร์ดาโน (F.Cardano, ค.ศ.
1444-1524 และทาร์ทาเกลีย (N.Tartaglia, ค.ศ. 1506-1557) ที่พยายามหาคำตอบแต่ได้ผลที่ไม่ดีนัก
และปัญหานี้ถูกนำเสนอให้ปาสกาล โดยเดอ เมเร ในคริสต์ศตวรรษที่ 17 ปาลกาลให้ความสนใจกับปัญหานี้มาก และท่านได้นำไปถ่ายทอดให้แฟร์มาต์
ความหมาย
ในชีวิตประจำวันทุกคนเคยได้ยินคำว่า
ความน่าจะเป็น หรือ โอกาส เช่น โอกาสที่ฝนจะตกวันนี้มีมาก
ความน่าจะเป็นนี้สามารถไปใช้ช่วยในการตัดสินในเกี่ยวกับเหตุการณ์ต่าง ๆ
ได้ถูกต้องมากขึ้น เช่น วันนี้ควรจะเตรียมร่มหรือเสื้อกันฝนเวลาออกนอกบ้าน
หรือไม่เมื่อมองดูท้องฟ้าแล้วมืดครึ้ม แสดงว่าโอกาสที่ฝนจะตกวันนี้มีมาก
ดังนั้นจึงควรเตรียมอุปกรณ์ที่จะกันฝนได้ไปด้วย อาจจะเป็นร่ม หรือเสื้อกันฝนก็ได้
การทดลองสุ่ม
(Random
Experiment) และ เหตุการณ์ (Events)
การทดลองสุ่ม (Random Experiment)
การทดลองสุ่ม คือ
การทดลองซึ่งทราบว่าผลลัพธ์จะเป็นอะไรได้บ้าง
แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างถูกต้องแน่นอนว่าในแต่ละครั้งที่ทดลองผลที่เกิดขึ้น
จะเป็นอะไร จากเหตุผลทั้งหมดที่เป็นไปได้เหล่านั้น ตัวอย่างเช่น
1. การโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 1
ครั้ง ผลที่จะเกิดขึ้นได้ คือ ขึ้นหัว หรือ ขึ้นก้อย
ดังนั้น
ผลลัพธ์ทั้งหมดที่จะเกิดขึ้นคือ หัว ก้อย ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้
คือหน้าหัว หรือ หน้าก้อย
2. การทดลองลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง
แต้มที่จะเกิดขึ้นได้ คือ แต้ม 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6
ซึ่งไม่สามารถบอกได้ว่าจะเป็นแต้มอะไรใน 6 แต้มนี้
ดังนั้นผลลัพธ์ทั้งหมดที่จะเกิดขึ้นคือ
1, 2, 3, 4, 5, 6
3. การหยิบลูกปิงปอง 1 ลูก จากกล่อง ซึ่งมี 5 ลูก 5 สี ดังรูป
ลูกปิงปองที่หยิบได้อาจจะเป็น ลูกปิงปองสีขาว ฟ้า แดง เขียว หรือส้ม
ตัวอย่างการทดลองสุ่ม
1. ในการโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 1
ครั้ง
ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้
คือหน้าหัว หรือ หน้าก้อย
2. ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง
ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้
คือ แต้ม 1,2,3,4,5
เหตุการณ์
(Events)
เหตุการณ์ (Events) คือ
ผลลัพธ์ที่เราสนใจจากการทดลองสุ่ม นิยมใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษ
ตัวพิมพ์ใหญ่แทนเหตุการณ์ ตัวอย่าง เช่น
1. โยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 2
ครั้งจงหาผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่จะออกหัวอย่างน้อย 1
ครั้ง
ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่ม มี 4 แบบ คือ HH,
HT, TH และ TT
ผลลัพธ์ของ
เหตุการณ์ที่จะออกหัวอย่างน้อย 1 ครั้ง มี 3 แบบ คือ HH,
HT และ TH
2. ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1
ครั้งต้องการให้เกิดแต้มคู่
ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้
จากการทดลองสุ่ม มี 6 แบบ คือ 1, 2, 3, 4, 5 และ 6ผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่ต้องการให้เกิดแต้มคู่มี
3 แบบ คือ 2 , 4 และ 6
ตัวอย่างเหตุการณ์
1. ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ 2
ครั้ง ต้องการหน้าหัวอย่างน้อย 1 ครั้ง
ผลลัพธ์ของ เหตุการณ์ที่จะออกหัวอย่างน้อย 1 ครั้ง มี 3 แบบ คือ HH, HT และ TH
2. ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ต้องการให้เกิดแต้มคู่
ผลลัพธ์ ที่เกิดขึ้น คือ 2, 4, 6
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คือ
จำนวนที่แสดงให้ทราบว่าเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งมีโอกาสเกิดขึ้น
มากหรือน้อยเพียงใด ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ
เท่ากับอัตราส่วนของจำนวนเหตุการณ์ที่เราสนใจ (จะให้เกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นก็ได้)
ต่อจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้
เมื่อผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มแต่ละตัวมีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆ
กัน
กำหนดให้ E แทน เหตุการณ์ที่เราสนใจ
P(E) แทน
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
n(E) แทน จำนวนสมาชิกของเดหตุการณ์
S แทน
ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้
n(S) แทน จำนวนสมาชิกของผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้
คุณสมบัติของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ
มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1
2. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแน่นอน
เท่ากับ 1
3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากับ 0
ตัวอย่างความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
1. การโยนเหรียญบาท 3 เหรียญพร้อมกัน 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ขึ้นหน้าก้อย อย่างน้อย 2 เหรียญ
ให้ H แทน หัว T แทน
ก้อย การโยนเหรียญบาท 3 เหรียญ พร้อมกัน 1 ครั้ง ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นมี 8 แบบ คือ HHH, HHT,
HTH, HTT, THH, THT, TTH และ TTT แต่บอกไม่ได้แน่นอนว่าเมื่อโยนเหรียญแล้วจะขึ้นหน้าใด
ถ้าเหตุการณ์ที่เราสนใจ คือ ขึ้นหน้าก้อยอย่างน้อย 2 เหรียญ
ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้น มี 4 แบบ คือ HTT, THT, TTH และ TTT ดังนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ขึ้นหน้าก้อยอย่างน้อย
2 เหรียญ
2. การหยิบลูกปิงปอง 1 ลูก 1
ครั้ง จากกล่องใบหนึ่งมีลูกปิงปองสีแดง 4 ลูก สีขาว 4 ลูก สีน้ำเงิน 3 ลูก สีเขียว 3 ลูก และสีส้ม 6 ลูก ปะปนกันอยู่ ด.ญ.สุรีย์พรสุ่มหยิบลูกปิงปองจากกล่องใบนี้ขึ้นมา
1 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกปิงปองสีส้ม
จากโจทย์
เราสามารถหาผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้จากการทดลองสุ่ม หยิบลูกปิงปองทั้ง 5 สี
จากกล่องใบนี้มา 1 ลูก คือ 4 + 4 + 3 + 3 + 6 = 20 ลูก ดังนั้นจำนวนสมาชิกทั้งหมดเท่ากับ 20 หรือ n(S)
= 20
ให้ E แทนเหตุการณ์ที่ ด.ญ.สุรีย์พร
สุ่มหยิบลูกปิงปอง 1 ลูก จากกล่องที่มีลูกปิงปอง สีส้ม 6 ลูก จะได้ n(E) = 6
ความน่าจะเป็นกับการตัดสินใจ
จากการศึกษาเรื่องความน่าจะเป็นสามารถช่วยให้เรารู้ว่าเหตุการณ์ที่พิจารณา
อยู่นั้นมีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด แต่บางเหตุการณ์ความรู้
เรื่องความน่าจะเป็นเพียงอย่างเดียว อาจไม่เพียงพอที่จะช่วยเราตัดสินใจได้
จำเป็นจะต้องหาองค์ประกอบอื่นมาช่วยในการตัดสินใจด้วย ซึ่งองค์ประกอบหนึ่ง คือ
ผลตอบแทนของการเกิดเหตุการณ์นั้น ในทางสถิติได้นำความน่าจะเป็นของเหตุการณ์และผลตอบแทนของการเกิดเหตุการณ์
นั้น พิจารณาประกอบกันเป็นค่าคาดหมาย
ซึ่งหาได้จากผลรวมของผลคูณระหว่างความน่าจะเป็น
ของเหตุการณ์กับผลตอบแทนของเหตุการณ์
ค่าคาดหมาย = (ผลตอบแทนที่ได้ X ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ต้องการให้เกิดขึ้น) +
(ผลตอบแทนที่เสีย X ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่ต้องการให้เกิดขึ้น)
โดยผลตอบแทนของเหตุการณ์อาจหมายถึง
ผลตอบแทนที่ได้หรือผลตอบแทนที่เสีย เช่น ในการโยนเหรียญหัว ก้อย
ถ้าออกหัวผู้เล่นจะได้เงิน 2 บาท แต่ถ้าออกก้อยผู้เล่นจะต้องเสียเงิน 3 บาท แสดงว่า เงิน 2 บาทที่ผู้เล่นจะได้รับเป็นผลตอบแทนที่ได้
แทนด้วย +2 และเงิน 3 บาทที่ผู้เล่นจะต้องเสียเป็นผลตอบแทนที่เสียซึ่งแทนด้วย
-3 ตัวอย่างความน่าจะเป็นกับการตัดสินใจ เช่น
สลากกินแบ่งรัฐบาล
สร้างโดย:
นาย ภูริเชษฐ์ ลำลอง
แหล่งอ้างอิง:
http://cpb.ac.th
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น